Quantità di moto

In fisica la quantità di moto, detta anche momento lineare o momento, è una grandezza vettoriale che misura la capacità di un corpo di modificare il movimento di altri corpi con cui interagisce dinamicamente. È una grandezza utile quando vengono trattati urti e reazioni, ad esempio quando vengono chiamati i periti a rilevare le velocità dei veicoli negli incidenti stradali.

Definizione

Si dice che un punto materiale di massa m che si sposta con velocità vettoriale v ha una quantità di moto V pari al prodotto della sua massa per la sua velocità:

$\vec V = m \vec v$

Il vettore risultante ha, quindi, modulo pari al prodotto di massa per il modulo del vettore velocità, e direzione e verso del vettore velocità.

Nel caso di un sistema di N punti materiali, la quantità di moto del sistema è data dalla somma vettoriale delle singole quantità di moto dei vari punti:

$\vec V = \sum_{i=1}^N \vec V_i = \vec V_1 + \vec V_2 + ... + \vec V_N$

Nel caso di un corpo rigido di massa totale m che si sposta con velocità $\vec v_G$ (velocità del centro di massa), la quantità di moto è:

$\vec V = m \vec v_G$

Un'utile relazione tra il modulo della quantità di moto V e l'energia cinetica $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ di un punto materiale è data dalla seguente equazione:

$E_k=\frac{V^2}{2m}\, ; \quad V=\sqrt{2mE_k}$

La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di E_k quella di V.

L'importanza della quantità di moto è espressa dalla seconda legge della dinamica, dalla quale si evince che la forza applicata ad un punto materiale è pari alla derivata della quantità di moto del punto stesso rispetto al tempo.

Infatti, supponendo la massa costante,

$\vec F = \frac {\mathrm{d}\vec V}{\mathrm{d}t} = \frac {m \cdot \mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d} t} = m \vec a$

Integrando la forza rispetto al tempo, si ottiene una nuova grandezza detta impulso che corrisponde ad una differenza di quantità di moto ($\vec I = \Delta \vec V$)

Non bisogna confondere il lavoro, pari ad una forza per uno spostamento, e a una differenza di energia, con l'impulso, pari ad una forza per un tempo e ad una differenza di quantità di moto.

La quantità di moto assume un importante ruolo sia in meccanica classica che in quella quantistica, poiché il suo valore per un sistema meccanicamente isolato resta costante (legge di conservazione della quantità di moto). È utile in particolare per la descrizione di urti (sia classici che quantistici) e decadimenti.

Definizioni moderne della quantità di moto

Quantità di moto in meccanica relativistica

Nella meccanica relativistica il momento è definito come:

$\mathbf{V} = \gamma m\mathbf{v}$ ||      ||rowspan=4 |

dove:

• m è la massa a riposo del corpo in movimento,
• $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ è il fattore di Lorentz,
• v è la velocità totale relativa tra l'oggetto e l'osservatore.
• c è la velocità della luce.

Come si nota il momento relativistico tende al momento classico: $m\mathbf{v}$ a velocità basse ($v/c\to 0$).

Un momento relativistico quadrivettoriale (quadrimpulso) proposto da Albert Einstein è invariante in modulo sotto traslazione di Lorentz. Questi quadrivettori compaiono spontaneamente nella funzione di Green dalla teoria quantistica dei campi. Il quadrimomento è definito come:

$V = \left( \frac{E}{c} ,V_x , V_y ,V_z \right)$

dove $V_x$ è la componente x del momento relativisitico e E è l'energia totale del sistema:

$E = \gamma mc^2 \;$.

Usando il prodotto scalare quadrivettoriale si ha che:

$V^2 =V\cdot V=\frac{E^2}{c^2} - V_x^2 - V_y^2 - V_z^2$

questa quantità è un invariante relativistico, cioè sotto trasformazioni di Lorentz.

Momento di un oggetto senza massa

Particelle senza massa come il fotone trasportano un momento. La formula è:

$V = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}$ || ||rowspan=4 |

dove:

• h è la costante di Planck,
• λ è la lunghezza d'onda del fotone,
• E è l'energia che trasporta il fotone e
• c è la velocità della luce.

Generalizzazione del momento

Il momento è il generatore di Noether per l'invarianza traslazionale. Come tali, ogni campo come ogni altro oggetto può avere un momento, non solo le particelle. Tuttavia in uno spaziotempo curvo che non è asintotico allo spazio di Minkowski, il momento non è definito affatto.

Momento in meccanica quantistica

Per approfondire, vedi la voce Operatore impulso.

In meccanica quantistica il momento è definito come un operatore sulle funzioni d'onda. Il principio di indeterminazione di Heisenberg definisce un limite su quanto accuratamente il momento e la posizione di un singolo sistema osservabile possono essere osservate insieme. In meccanica quantistica, la posizione e il momento sono variabili coniugate.

Per una singola particella senza carica elettrica e senza spin, l'operatore momento può essere scritto nella base della posizione come

$\mathbf{V}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla$

dove $\nabla$ è l'operatore nabla.

L'impulso

Viene definito "impulso" la variazione della quantità di moto di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole è l'effettiva quantità di moto trasmessa al corpo urtato al momento dell'urto. Le quantità di moto iniziale e finale utili per calcolare l'impulso consistono nel prodotto della massa del corpo per la velocità finale (nel primo membro) e per la velocità iniziale (nel secondo membro). Dunque per calcolare l'impulso in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda legge della dinamica di Newton e la legge della cinematica di un moto rettilineo uniforme si ha che:

$\vec F=m \vec a=m{\mathrm{d}\vec v\over{\mathrm{d}t}}$

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene

$\vec I =m\Delta \vec v=\Delta \vec{V}$

Voci correlate

• Legge di conservazione della quantità di moto
• Momento angolare
• Momento d'inerzia
• Momento di dipolo elettrico
• Momento di dipolo magnetico
• Momento di quadrupolo
• Momento gravitazionale

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