Incommensurabilità

Due grandezze $x\,$ ed $y\,$ si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali $m\,$ e $n\,$ per i quali:

$\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze $x\,$ ed $y\,$. Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

$x={m \over n}\cdot y\,$

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto ${m\over n}.$ Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

Esempio di grandezze non commensurabili

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo $d\,$) rispetto al lato (che chiameremo $l\,$). Per farlo utilizziamo il Teorema di Pitagora.

Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

$d^2=l^2+l^2\,$

da cui

$d^2=2l^2\,$

allora

$d=\sqrt{2l^2}\,$

semplificando abbiamo che

$d=\sqrt{2} \cdot l\,$

abbiamo quindi trovato la misura di $d\,$ rispetto a $l\,$. Ora è necessario dimostrare che il numero $\sqrt {2}\,$ non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

Bibliografia

• Euclide, Elementi, libro X
• Morris Kline, Storia del pensiero matematico, vol I, capp. 3 e 4, Einaudi, 1999. ISBN 9788806154172
• (EN) Miklós Laczkovich, Conjecture and Proof, Cambridge University Press, 2001, pp. 3-5. ISBN 9780883857229

Voci correlate

• Numeri irrazionali
• Quadrato
• Grandezza

Altri progetti

• Questa voce è inclusa nel libro di Wikipedia Pitagorismo.

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