Geometria euclidea

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La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.

Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli elencati da Euclide sono dette geometrie non euclidee.

I 5 postulati di Euclide sono:

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
  2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
  5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di matita, righello e compasso, ed il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. Lo stesso matematico sembra essere a disagio in proposito, tanto che dimostra le prime 28 proposizioni del primo libro degli Elementi senza farne uso.

Essendo meno generica tuttavia è senz'altro più familiare la forma moderna del postulato:

Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta data.

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.

Prime conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:

  • Per un punto passano infinite rette
  • Per due punti distinti passa una ed una sola retta
  • Per una retta nello spazio passano infiniti piani
  • Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
  • Per tre punti allineati passa una e una sola retta

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:

  • Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
  • Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
  • La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Versione assiomatizzata e corretta[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1899, David Hilbert (nato a Konigsberg nel 23 gennaio del 1862 e morto a Gottinga nel 14 febbraio del 1943) propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perché se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti: ad esempio, nel primo assioma, è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti; nel secondo, che una retta possegga più di un punto; nel terzo, che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica, indagata da Giovanni Girolamo Saccheri, fondata correttamente da Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e confermata con un modello da Eugenio Beltrami, poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

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