Accelerazione

L'accelerazione rappresenta la variazione di velocità (positiva o negativa) nell'unità di tempo.

L'accelerazione comunemente detta è la derivata temporale di primo ordine della velocità. Le derivate temporali di ordine superiore al primo della velocità vengono anch'esse chiamate "accelerazioni", e vengono studiate nel moto vario, ma non hanno un significato dinamico diretto nella teoria classica.

Accelerazione media e accelerazione istantanea

L'accelerazione può essere scritta come:

• accelerazione media: rapporto tra la variazione di velocità $\Delta\vec {v} =\vec {v}_2-\vec {v}_1$ e l'intervallo finito di tempo $\Delta t$

$\vec {a} = \frac {\vec {v}_2 - \vec {v}_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta\vec {v} }{\Delta t}$

• accelerazione istantanea: limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del rapporto che definisce l'accelerazione media, ovvero derivata della velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda della posizione rispetto al tempo:

$\vec {a}= \frac {d\vec {v}}{d t} = \frac {d^2 \vec{s}}{d t^2}$

dove $\vec{s}$ è il vettore spostamento.

Essendo la velocità una grandezza vettoriale, anche l'accelerazione risulta essere una grandezza vettoriale.

Nel caso di moto rettilineo (monodimensionale), anche il vettore accelerazione è monodimensionale.

Nel caso di moto circolare uniforme, il vettore accelerazione è radiale, ovvero perpendicolare alla traiettoria circolare. Ciò vale anche nel caso più generale di una traiettoria curvilinea qualunque dove per individuarne la direzione ed il verso si utilizza il metodo del cerchio osculatore.

Unità di misura

Nel SI l'accelerazione si esprime in $[\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}]$ (metro al secondo quadrato o metro al secondo per secondo). Sovente è anche espressa in $[\mathrm{G}]$, con $1\,\mathrm{G} = 9,81\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$. Questo valore è quello dell'accelerazione di gravità terrestre e permette di misurare l'accelerazione proporzionalmente ad essa.

Accelerazione in due e tre dimensioni

L'accelerazione considerata in uno spazio bidimensionale (piano) può essere scomposta nelle componenti:

$\vec {a} = a_x\hat {i} + a_y\hat {j}$

In uno spazio a tre dimensioni sarà invece:

$\vec {a} = a_x\hat {i} + a_y\hat {j} +a_z\hat {k}$

dove $\hat {i}, \hat {j}, \hat {k}$ sono i versori del sistema di riferimento utilizzato.

Componente centripeta e tangenziale dell'accelerazione.

Data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente (accelerazione tangenziale) e in una componente perpendicolare (accelerazione centripeta):

$\vec a=a_t \hat t + a_n \hat n$

dove $\hat t$ è il versore parallelo alla velocità in ogni punto e $\hat n$ è un versore perpendicolare all'altro. Riportando la derivata del vettore velocità:

$\frac{\mbox{d} \vec v}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}\vec t + \frac{\mbox{d}\hat v}{\mbox{d}t} v=\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}\vec t + \vec \omega \wedge \vec v= \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}\vec t + \omega v \hat n$

si nota che pensare l'accelerazione attraverso questa scomposizione è comodo perché l'accelerazione tangenziale influenza solo la norma della velocità, mentre quella normale ne influenza solo la direzione. Identificando i termini infatti si ha:

$a_t=\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$

$a_n=\omega v\,\!$

Si noti che mentre in due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, in tre dimensioni bisogna specificarlo: esso è parallelo al raggio del cerchio che meglio approssima la traiettoria in quel punto (cerchio osculatore).

In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, detta triedro di Frenet, costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome di versore tangente, normale e binormale. L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e quello normale. La geometria differenziale sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto la curvatura e la torsione della traiettoria.

Per approfondire, vedi la voce Geometria differenziale delle curve.

Casi particolari

Se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta: infatti la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, essa è rettilinea. Importanti sottocasi si hanno quando:

• anche la componente tangenziale dell'accelerazione è nulla: il vettore velocità è allora costante e si ha un moto rettilineo uniforme;
• l'accelerazione tangenziale è costante: ciò provoca un moto rettilineo uniformemente accelerato.

Se invece è nulla l'accelerazione tangenziale, la velocità in ogni punto sarà sempre costante in modulo, ma cambierà direzione per effetto dell'accelerazione normale o centripeta. Nel caso in cui questa sia costante si ottiene un moto circolare uniforme.

Accelerazione e linguaggio: casi comuni

• andare più velocemente: "accelerare" in senso stretto; in questo caso accelerazione e velocità presentano stesso verso e direzione;
• andare più lentamente: "frenare" o "decelerare"; in questo caso accelerazione e velocità presentano stessa direzione e verso opposto; in fisica si può parlare anche in questo caso di "accelerazione"; l'accelerazione e la velocità sono infatti grandezze vettoriali (e non scalari), per cui le loro definizioni rimangono valide a prescindere dal loro verso (che è concorde nel caso precedente e discorde in questo caso);
• cambiare direzione: "girare"; in questo caso l'accelerazione possiede una componente perpendicolare alla velocità, che prende il nome di "accelerazione centripeta".

In quest'ultimo caso si ha:

$a = \frac {v^2}{r}$

dove v è il modulo della velocità istantanea del corpo ed r è il raggio di curvatura della traiettoria.

Bibliografia

• McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology - "Acceleration" (in inglese), New York, McGraw-Hill, 2006.

Voci correlate

• Accelerazione media
• Accelerazione istantanea
• Accelerazione centripeta
• Accelerazione tangenziale
• Principio di equivalenza
• Principio di proporzionalità
• Posizione
• Velocità
• Strappo
• Sbalzo
• Crepitio

Altri progetti

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